Калькулятор эквивалента Тевенена и Нортона

Тевенен / Нортон

Что считает теорема Тевенена и Нортона

Теорема Тевенена — один из самых мощных приёмов анализа цепей: любой линейный участок с источниками и резисторами, каким бы запутанным он ни был, со стороны двух выводов ведёт себя как единственный источник ЭДС Vth с последовательным сопротивлением Rth. Это позволяет отбросить всё «нутро» схемы и работать с простой моделью из двух элементов. Теорема Нортона — её двойник: тот же участок можно представить источником тока In параллельно тому же Rth. Оба эквивалента взаимозаменяемы и описывают одну и ту же цепь: зная любой из них, второй получают в одну строку, а выбор между ними — лишь вопрос удобства расчёта. Для резистивного делителя напряжения (R1 от источника Vs к выходу, R2 с выхода на землю) параметры считаются в одну строку.

Vth = Vs · R2/(R1+R2)    Rth = R1 ∥ R2 = R1·R2/(R1+R2)
Нортон: In = Vth/Rth = Vs/R1    под нагрузкой: Vн = Vth·Rн/(Rth+Rн)

Vth — это напряжение холостого хода на выходе: столько будет на клеммах, пока к ним ничего не подключено. Rth — сопротивление, «видимое» со стороны выхода, если источник Vs мысленно закоротить; для делителя это просто параллель R1 и R2. Ток Нортона In — это ток короткого замыкания выхода, равный Vth/Rth, что для делителя сводится к Vs/R1. Три числа полностью описывают, как участок будет вести себя с любой нагрузкой.

Почему Rth решает всё: просадка под нагрузкой

Пока выход разомкнут, на нём ровно Vth. Как только подключается нагрузка Rн, она образует с Rth ещё один делитель, и напряжение падает до Vн = Vth·Rн/(Rth+Rн). Отсюда главный вывод: чем меньше Rth относительно Rн, тем «жёстче» источник и тем меньше проседает выход. Если Rн равно Rth, на нагрузке остаётся ровно половина Vth. Это и есть внутреннее сопротивление источника — та же величина, что определяет просадку батарейки под током. Понимание Rth избавляет от сюрпризов: делитель, отлично работающий на вольтметр с мегаомным входом, может «сложиться» под низкоомной нагрузкой. Оценить конкретное падение напряжения на любом Rн помогает та же формула, а сам ток в нагрузку — обычный закон Ома: Iн = Vth/(Rth+Rн).

Как свернуть цепь вручную

Метод универсален и не ограничен делителем. Чтобы найти Rth, отключите нагрузку, замените все идеальные источники напряжения перемычками (закоротите), а источники тока — разрывами, и посчитайте сопротивление между выходными клеммами обычными правилами последовательного и параллельного соединения; для мостовых узлов пригодится преобразование звезда↔треугольник. Чтобы найти Vth, верните источники и посчитайте напряжение холостого хода на разомкнутом выходе. Есть и третий приём, удобный для схем с зависимыми источниками: приложить к выходу пробный источник, измерить ток и взять Rth = Uпроб/Iпроб — так внутреннее сопротивление находят даже там, где формулы параллельного соединения не работают напрямую.

Единицы держите согласованными: вольты, омы и амперы дают ватты без коэффициентов; килоомы удобны, но при смешивании с омами легко ошибиться на порядок. Полезно сразу проверять здравый смысл результата: Vth никогда не превышает напряжение источника, а Rth для делителя всегда меньше меньшего из двух резисторов — параллель не может быть больше любого из плеч. Калькулятор выше принимает Ом, кОм и МОм и приводит их сам, показывает Vth, Rth, ток Нортона и, если задать нагрузку, напряжение на ней; точность вывода — три значащих цифры для напряжений и токов.

Максимальная передача мощности

Из эквивалента Тевенена следует классический результат: наибольшую мощность нагрузка получает, когда Rн = Rth. Тогда на нагрузке падает ровно половина Vth, а мощность равна Pmax = Vth²/(4·Rth). При этом КПД составляет всего 50 % — вторая половина рассеивается на самом Rth, поэтому в силовых цепях согласование по мощности не применяют (там гонятся за низким Rth и высоким КПД). Зато в радиочастотных и слаботочных трактах согласование источника и нагрузки критично: оно максимизирует переданный сигнал и подавляет отражения. Именно поэтому антенны и линии стремятся согласовать по импедансу, а измерительные мосты вроде моста Уитстона балансируют по этому же принципу равенства плеч.

Просадка выхода от отношения Rн/Rth

Таблица показывает, какая доля холостого напряжения Vth доходит до нагрузки в зависимости от того, во сколько раз Rн больше Rth. Значения универсальны — годятся для любого источника с известным внутренним сопротивлением.

Где применяют — и где не годится

Эквивалент Тевенена — рабочий инструмент при расчёте опорных напряжений и смещений: делитель, задающий опору для АЦП или базу транзистора, надо проверять по Rth, иначе входной ток «утянет» точку вниз. Модель Нортона удобнее там, где естественнее мыслить токами — при анализе делителя тока или узлов с источником тока. Согласование по Rth лежит в основе РЧ-трактов, датчиковых мостов и измерительных схем. Ограничения важно помнить: теорема справедлива только для линейных цепей — диоды, транзисторы в нелинейном режиме, насыщающиеся сердечники она описывает лишь в малосигнальном приближении вокруг рабочей точки. Реактивные элементы (C, L) требуют перехода к комплексному импедансу Zth вместо чистого Rth, и тогда просадка зависит уже от частоты. И эквивалент верен только относительно выбранной пары клемм — для другой точки схемы Vth и Rth будут иными, поэтому всегда фиксируйте, между какими двумя узлами вы «сворачиваете» цепь. Наконец, реальный источник имеет пределы по току и напряжению: линейная модель Тевенена перестаёт работать, как только нагрузка выводит схему за границы её рабочего диапазона.

Пример

На значениях по умолчанию (Vs = 12 В, R1 = R2 = 10 кОм, нагрузка не задана) получаем: Vth = 12·10/(10+10) = 6 В, Rth = 10·10/(10+10) = 5 кОм, In = Vth/Rth = 6/5000 = 1,2 мА. Нагрузка не подключена, поэтому на выходе напряжение холостого хода — те же 6 В. Подставим для проверки Rн = 5 кОм (равно Rth): выход просядет ровно вдвое, до Vн = 6·5/(5+5) = 3 В — это и есть режим максимальной передачи мощности, где нагрузка получает Pmax = 6²/(4·5000) = 1,8 мВт.

См. также: делитель напряжения · делитель тока · закон Ома · соединение резисторов · мост Уитстона · все калькуляторы

Как найти эквивалент Тевенена делителя?

Vth — напряжение холостого хода на выходе: Vth = Vs·R2/(R1+R2). Rth — сопротивление со стороны выхода при закороченном источнике: Rth = R1∥R2. Эти два параметра заменяют весь делитель одним источником с внутренним сопротивлением.

Чем отличается эквивалент Нортона?

Это то же внутреннее сопротивление Rth, но с источником тока In = Vth/Rth вместо источника напряжения. Тевенен и Нортон взаимозаменяемы и описывают одну и ту же цепь.