Калькулятор четвертьволнового трансформатора

Четвертьволновый трансформатор

Как работает четвертьволновый трансформатор

Четвертьволновый трансформатор — это отрезок линии передачи длиной ровно в четверть длины волны (λ/4), который согласует два разных характеристических импеданса. Задача согласования возникает всякий раз, когда сигнал переходит из одной среды в другую: например, из фидера 50 Ом в антенну с входным сопротивлением 100 или 200 Ом. Без согласования часть мощности отражается обратно к источнику, растёт КСВ, падает КПД тракта. Четвертьволновый отрезок с правильно выбранным волновым сопротивлением делает границу «прозрачной» на рабочей частоте. Это одно из самых элегантных решений в СВЧ-технике: никакой сосредоточенной индуктивности или ёмкости — только кусок линии нужной длины.

Zт = √(Z1 · Z2)    λ = VF · c / f    длина = λ / 4

Работает это благодаря свойству четвертьволновой линии инвертировать импеданс: входное сопротивление отрезка равно Zвх = Zт² / Zнагр, где Zт — собственное волновое сопротивление отрезка. Подставив согласуемые импедансы и потребовав Zвх = Z1 при нагрузке Z2, получаем условие Zт = √(Z1 · Z2) — среднее геометрическое двух согласуемых сопротивлений. Именно поэтому промежуточная линия всегда имеет волновое сопротивление между Z1 и Z2, ближе к их «геометрической середине», а не к арифметической.

Почему именно среднее геометрическое

Смысл формулы легко почувствовать на числах. Согласуем 50 и 200 Ом: арифметическое среднее дало бы 125 Ом, но правильный ответ Zт = √(50·200) = 100 Ом. Отрезок 100 Ом «видит» со стороны нагрузки 200 Ом и трансформирует их во входное 100²/200 = 50 Ом — ровно то, что нужно источнику. Среднее геометрическое симметрично: трансформатор работает в обе стороны, и неважно, какое сопротивление считать источником, а какое нагрузкой. Импедансы здесь — чисто активные (резистивные). Если нагрузка имеет реактивную составляющую (реактивное сопротивление XL или XC), её сначала компенсируют или пересчитывают точку подключения так, чтобы в месте включения трансформатора видеть чисто активное сопротивление.

Длина отрезка и коэффициент укорочения

Физическая длина четвертьволнового отрезка меньше четверти длины волны в свободном пространстве, потому что в реальной линии волна распространяется медленнее скорости света. Отношение фактической скорости к скорости света и есть коэффициент укорочения VF (velocity factor). Длина волны в линии λ = VF · c / f, а отрезок берут λ/4. Для типового коаксиала с полиэтиленовым диэлектриком VF ≈ 0,66, для вспененного диэлектрика 0,80–0,88, для воздушной линии близко к 1. Ошибка в VF напрямую сдвигает резонанс, поэтому значение берут из даташита конкретного коаксиального кабеля, а не «на глаз». Связь частоты и длины волны считает отдельный калькулятор частота ↔ длина волны.

Полоса согласования и её ограничения

Главный недостаток одиночного четвертьволнового трансформатора — узкополосность. Условие λ/4 выполняется точно только на одной частоте (и на нечётных гармониках 3f, 5f…), а с отходом от неё согласование ухудшается тем быстрее, чем сильнее различаются Z1 и Z2. Чем больше отношение импедансов, тем уже полоса. Когда нужна широкая полоса, ставят каскад из нескольких четвертьволновых секций с плавно нарастающим Zт (биномиальные и чебышёвские трансформаторы) либо используют плавный переход-конус. Для узкополосных задач — питание антенны на одной частоте, согласование каскада передатчика — одиночного отрезка вполне достаточно. На практике полосу по уровню КСВ ≤ 1,5 у одиночной секции при отношении импедансов 2:1 можно грубо оценить в 20–30 % от центральной частоты; при отношении 4:1 она сужается вдвое. Альтернатива на сосредоточенных элементах — L-согласование из катушки и конденсатора, оно компактнее на низких частотах, но тоже узкополосно.

Типовые пары импедансов и требуемое Zт

В таблице — распространённые случаи согласования и волновое сопротивление четвертьволнового отрезка, которое их решает. Значения посчитаны по Zт = √(Z1·Z2).

Где применяют — и где не годится

Четвертьволновые трансформаторы встречаются повсюду в РЧ- и СВЧ-технике: питание антенн (согласование фидера с точкой питания диполя или петлевого вибратора), межкаскадное согласование в усилителях мощности, делители и сумматоры мощности (трансформатор Уилкинсона использует четвертьволновые плечи), фильтры и резонаторы на отрезках линий. На печатной плате отрезок реализуют микрополосковой линией расчётной ширины, задающей нужное Zт. Не годится трансформатор там, где требуется широкая полоса без каскадирования, где нагрузка сильно реактивна и её нельзя привести к активной, а также на низких частотах, где λ/4 получается непрактично длинной — там переходят к L-цепочкам на катушках и конденсаторах. Качество согласования удобно контролировать по КСВ и обратным потерям.

Пример

Значения по умолчанию: Z1 = 50 Ом, Z2 = 100 Ом, частота f = 100 МГц, коэффициент укорочения VF = 0,66. Волновое сопротивление отрезка Zт = √(50 · 100) = √5000 = 70,71 Ом. Длина волны в линии λ = 0,66 · 299 792 458 / 100 000 000 ≈ 1,979 м, значит четвертьволновый отрезок имеет длину λ/4 ≈ 49,47 см. То есть для согласования 50 и 100 Ом на 100 МГц нужен кусок линии с волновым сопротивлением 70,71 Ом и физической длиной около 49,5 см.

См. также: L-согласование · КСВ · коаксиальный кабель · длина волны · реактивность · микрополосок · все калькуляторы

Как рассчитать четвертьволновый трансформатор?

Волновое сопротивление согласующего отрезка Z = √(Z1·Z2), где Z1 и Z2 — согласуемые импедансы. Его длина равна четверти длины волны в линии (λ/4) с учётом коэффициента укорочения. Например, 50 и 100 Ом согласует отрезок √5000 ≈ 71 Ом.

Как работает четвертьволновый трансформатор?

Отрезок линии длиной λ/4 инвертирует импеданс: сопротивление на одном конце Zвх = Z²/Zнагр. Подобрав волновое сопротивление отрезка, добиваются, чтобы на входе получился нужный импеданс — так согласуют, например, антенну с фидером.

В чём недостаток четвертьволнового согласования?

Оно работает точно только на одной частоте (и нечётных гармониках), потому что длина λ/4 зависит от частоты. Для широкой полосы применяют многоступенчатые трансформаторы или другие согласующие цепи.