Калькулятор RC-цепи (постоянная времени)

RC постоянная времени

Что такое постоянная времени RC

Когда конденсатор заряжается или разряжается через резистор, напряжение на нём меняется не мгновенно, а по плавной экспоненте. Скорость этого процесса задаёт одна-единственная величина — постоянная времени τ (тау), равная произведению сопротивления на ёмкость. Чем больше R или C, тем медленнее ток «переливает» заряд в конденсатор и тем дольше цепь приходит к установившемуся состоянию. Именно τ связывает воедино три мира: сопротивление в омах, ёмкость в фарадах и время в секундах.

τ = R · C    U(t) = U₀ · (1 − e^−t/τ)    fc = 1 / (2π · R · C)

Размерность сходится сама собой: ом умножить на фарад даёт секунду, потому что фарад — это кулон на вольт, а ом — вольт на ампер. Формула симметрична, поэтому калькулятор находит любую из трёх величин, если заданы две другие: подставьте R и C — получите τ; задайте нужное τ и один из номиналов — получите второй. Это удобно, когда время задержки известно из схемы, а подобрать надо конкретный резистор или конденсатор. Заметьте: одно и то же τ даёт бесконечно много пар «R и C». Большое сопротивление при малой ёмкости экономит место на плате и почти не грузит источник сигнала, но становится чувствительным к токам утечки и входным токам следующего каскада; наоборот, малый R с крупным конденсатором помехоустойчивее, зато сильнее нагружает предыдущий узел. Родственная цепь на катушке живёт по такому же закону, только там τ = L/R — см. постоянную времени RL.

Заряд и разряд по экспоненте

При заряде напряжение растёт как U(t) = U₀·(1 − e^−t/τ), при разряде спадает как U(t) = U₀·e^−t/τ. Обе кривые управляются одной и той же τ, поэтому «время заряда» и «время разряда» для одной цепи совпадают. За первую τ конденсатор набирает 63,2 % от полного напряжения, за вторую — уже 86,5 %, и дальше прирост замедляется: экспонента подходит к цели всё медленнее, но формально не достигает её никогда. На практике за 5τ процесс считают завершённым — остаётся меньше 1 % (точнее 0,7 %), и это общепринятый инженерный критерий «полного» заряда. Ток при этом ведёт себя зеркально: в первый момент он максимален (I₀ = U₀/R), а затем спадает по e^−t/τ до нуля. Есть красивый геометрический смысл: касательная к кривой заряда в самом начале координат пересекает уровень U₀ ровно через одну τ — если бы заряд шёл с начальной скоростью без замедления, цепь дошла бы до полного напряжения именно за τ. Этим пользуются на практике: подают на цепь ступеньку напряжения, ловят осциллографом момент достижения 63 % и так измеряют реальную постоянную времени. Не путайте τ с «временем нарастания» фронта, которое обычно меряют между уровнями 10 % и 90 %: оно равно примерно 2,2·τ. Ещё один важный факт: при заряде через резистор ровно половина энергии, взятой от источника, рассеивается на этом резисторе теплом — и эта потеря не зависит от величины R. Подробный разбор накопленного заряда и запасённой в конденсаторе энергии — в калькуляторах заряда конденсатора и энергии C и L.

Частота среза: та же цепь как фильтр

Постоянная времени и частота среза — две стороны одной монеты. Ту же RC-цепь можно рассматривать в частотной области: она пропускает медленные изменения и «сглаживает» быстрые. Граница проходит по частоте среза fc = 1/(2π·R·C), где сигнал ослабляется на 3 дБ. Связь прямая: fc = 1/(2π·τ). Если снять выход с конденсатора — получится фильтр нижних частот, если с резистора — верхних. На частоте среза сигнал не только слабеет на 3 дБ (до 0,707 от амплитуды), но и сдвигается по фазе на 45°; дальше от среза спад идёт со скоростью 6 дБ на октаву — это «пологий» фильтр первого порядка. Отсюда практическое правило: чтобы импульс прошёл цепь без заметного искажения фронта, его длительность должна быть много больше τ; чтобы, наоборот, сгладить помеху — τ берут заметно больше периода помехи. Тот же расчёт с готовыми АЧХ дают калькуляторы RC-фильтра НЧ/ВЧ и фазового сдвига RC, а поведение реактивного сопротивления конденсатора с частотой — реактивность X_C.

Сколько процентов за сколько τ

Эта таблица — рабочий ориентир: по ней сразу видно, на какой стадии находится процесс через целое число постоянных времени. Значения не зависят от конкретных R и C — только от того, сколько τ прошло.

Где применяют — и где не годится

RC-цепь с известной τ — самый дешёвый способ получить задержку или временной интервал. На ней строят антидребезг кнопок (контакт «звенит» единицы миллисекунд — τ подбирают так, чтобы сгладить дребезг, но не затормозить нажатие), задают время в таймере NE555 (там интервал прямо пропорционален R·C), формируют плавный старт по питанию и цепи сброса микроконтроллера. Разрядная ветвь RC гасит выбросы на индуктивной нагрузке — на этом стоит RC-снаббер. Ограничения тоже стоит помнить: реальный резистор и конденсатор имеют разброс номиналов (часто ±5…20 %), поэтому и τ «плавает» в тех же пределах — для точного времени берут кварц или таймер. Электролитические конденсаторы с их утечкой и зависимостью ёмкости от температуры плохо держат большие τ, а при высоком R на точность влияют входные токи следующего каскада. Для стабильной задержки предпочитают плёночные конденсаторы или керамику классов с малым температурным дрейфом, а не дешёвую высокоёмкую керамику, у которой ёмкость проседает под приложенным напряжением. Стоит помнить и про диэлектрическую абсорбцию: после быстрого разряда конденсатор способен сам «подтянуть» на выводах небольшое остаточное напряжение, что искажает точные времязадающие и измерительные цепи. Если нужна не задержка, а стабильная частота, RC уступает LC-контуру и кварцу — там уход частоты на порядки меньше.

Пример

Значения по умолчанию: R = 10 кОм, C = 100 нФ. Постоянная времени τ = R·C = 10 000 Ом · 100·10⁻⁹ Ф = 10⁴ · 10⁻⁷ = 10⁻³ с = 1 мс. За это время конденсатор зарядится до 63,2 %. Практически полный заряд наступит за 5τ = 5 мс. Та же цепь как фильтр имеет частоту среза fc = 1/(2π·R·C) = 1/(2π·10⁴·10⁻⁷) ≈ 159,2 Гц — ниже неё сигнал проходит, выше начинает ослабляться. Введите эти R и C в поля выше — получите ровно эти три числа.

См. также: постоянная времени RL · RC-фильтр · фазовый сдвиг RC · энергия конденсатора · все калькуляторы

Как рассчитать постоянную времени RC?

Постоянная времени τ = R·C. За время τ конденсатор заряжается до 63% напряжения, за 5τ — практически полностью (99%). Частота среза RC-цепи fc = 1/(2π·R·C).

Сколько времени заряжается конденсатор?

Практически полным считают заряд за 5 постоянных времени (5τ = 5·R·C) — к этому моменту напряжение достигает ~99% от приложенного. За одну τ набирается 63%.