Калькулятор порядка фильтра (Баттерворт)

Порядок фильтра

Что такое порядок фильтра

Порядок фильтра n — это число реактивных элементов (полюсов), которые формируют его частотную характеристику. Каждый порядок добавляет к спаду за частотой среза fc ровно 20 дБ на декаду, или 6 дБ на октаву: чем выше порядок, тем резче фильтр отсекает всё, что лежит за срезом. Одиночное RC-звено даёт первый порядок и пологий переход; чтобы подавить помеху сильнее и круче, порядок наращивают. Этот калькулятор решает обратную задачу — какой минимальный порядок нужен, чтобы получить требуемое затухание A на частоте f при известной частоте среза fc. За основу взят фильтр Баттерворта: у него монотонная характеристика без пульсаций и максимально плоская полоса пропускания, поэтому он и служит эталоном для такой прикидки. Порядок равен числу полюсов передаточной функции и обычно совпадает с числом конденсаторов и катушек, задающих частоту, а правило «20 дБ на каждый порядок» одинаково работает для ФНЧ, ФВЧ и полосовых фильтров.

n ≥ A / (20 · log₁₀(f/fc))    крутизна = 20n дБ/декаду = 6n дБ/октаву
A_факт = 10 · log₁₀(1 + (f/fc)^(2n))

Как считается порядок

Вдали от среза затухание фильтра растёт линейно по логарифму частоты: A ≈ 20n · log₁₀(f/fc) дБ. Отсюда, чтобы получить нужные A децибел на частоте f, порядок должен быть не меньше, чем n ≥ A / (20 · log₁₀(f/fc)). Полученное число почти всегда дробное, но полюсов у фильтра целое количество — поэтому результат округляют вверх до ближайшего целого. Отношение f/fc подставляется в разах, а не в герцах. Напомню связь единиц: декада — это изменение частоты в 10 раз, октава — в 2 раза, и переводятся они так: 20 дБ/декаду = 20 · log₁₀(2) ≈ 6 дБ/октаву. Именно поэтому одну и ту же крутизну записывают и как 20n дБ/дек, и как 6n дБ/окт — это одна величина, выраженная в разных единицах, а вовсе не два разных спада. Сама формула асимптотическая: она отбрасывает единицу под логарифмом, поэтому у самого среза слегка занижает нужный порядок, зато на декаду и выше даёт точный ответ. Записана она для ФНЧ, где помеха лежит выше среза; для ФВЧ рассуждение зеркально — затухание нарастает по мере ухода частоты ниже fc.

Порядок и крутизна спада

В таблице — асимптотический спад в полосе задерживания. Второй порядок (40 дБ/дек, 12 дБ/окт) — рабочая лошадка активной схемотехники: ровно столько даёт одно звено Sallen-Key. Фильтр четвёртого порядка (80 дБ/дек) собирают как два таких звена подряд, шестого — как три, и так далее: удвоение числа звеньев удваивает крутизну. Первый порядок применяют там, где нужен мягкий, ненавязчивый спад без фазовых искажений.

Фактическое затухание и семейства фильтров

Вблизи среза реальная кривая отстаёт от асимптоты: на самой частоте fc затухание равно −3 дБ (амплитуда 0,707), а не нулю, и лишь на декаду-две выше кривая выходит на прямую 20n дБ/дек. Точное значение для Баттерворта даёт формула A_факт = 10 · log₁₀(1 + (f/fc)^(2n)) — калькулятор показывает его в поле «Фактическое затухание». Из-за округления порядка вверх фактическое подавление обычно чуть больше запрошенного: это заложенный запас, а не ошибка расчёта. Уже на двух декадах выше среза расхождение с асимптотой пренебрежимо мало. При этом Баттерворт — не единственное семейство. Чебышёв при том же порядке даёт более крутой срез ценой пульсаций в полосе пропускания; фильтр Бесселя — наоборот, пологий срез, зато линейную фазу и минимальный звон переходной характеристики; эллиптический (Кауэра) — самый крутой из всех, но с пульсациями сразу в обеих полосах. Формула здесь консервативна: она рассчитана на самый плавный, баттервортовский случай, поэтому более острым семействам того же затухания хватит меньшего порядка.

Как выбрать порядок на практике

Сначала находят частоту среза схемы: для RC-звена это fc = 1/(2πRC) (см. RC-фильтр и постоянную времени RC), для LC — резонанс контура (LC-контур, LC-фильтр), где участвуют реактивные сопротивления катушки и конденсатора. Затем задают требуемое затухание в децибелах на частоте помехи — и получают порядок. Высокие порядки почти всегда реализуют активными: базовый кирпич — звено Sallen-Key второго порядка, из которых набирают четвёртый, шестой и выше. В акустике порядок задаёт крутизну кроссовера (12 или 24 дБ/окт), в связи и измерениях — избирательность полосового RC и глубину режектора на двойном Т-мосте. Перед АЦП порядок противоалиасингового фильтра берут таким, чтобы задавить всё выше зеркальной частоты, а в петле ФАПЧ порядок петлевого фильтра определяет устойчивость и полосу захвата. Учтите: простое каскадирование пассивных RC-звеньев не даёт чистого Баттерворта — соседние звенья нагружают друг друга и смещают общий срез, поэтому за крутым и предсказуемым спадом идут к активным схемам с буферами между звеньями.

Частые ошибки

Путают декаду и октаву: 6 дБ/окт и 20 дБ/дек — одна и та же крутизна, записанная в разных единицах, их нельзя складывать между собой. Считают, что на срезе сигнал ещё не ослаблен, — на fc уже −3 дБ, а настоящий крутой спад начинается заметно выше. Гонятся за максимальным порядком: каждый лишний полюс усложняет схему, портит фазу, добавляет звон и выброс на фронтах, делает характеристику чувствительной к разбросу номиналов — часто выгоднее сдвинуть fc ближе к полезному сигналу, чем наращивать порядок. Наконец, для ФНЧ подавляемая частота обязана лежать выше среза (f > fc); калькулятор это проверяет и не даст посчитать наоборот.

Пример

Возьмём значения по умолчанию: затухание A = 40 дБ на частоте f = 10 кГц при срезе fc = 1 кГц. Отношение f/fc = 10 (ровно декада), поэтому n ≥ 40 / (20 · log₁₀ 10) = 40 / 20 = 2 → фильтр 2-го порядка. Крутизна спада получается 40 дБ/декаду (12 дБ/октаву). Фактическое затухание A_факт = 10 · log₁₀(1 + 10⁴) = 10 · log₁₀ 10001 ≈ 40,0 дБ — запрос выполнен ровно, потому что помеха лежит на целую декаду выше частоты среза.

См. также: активный фильтр · LC-фильтр · RC-фильтр · кроссовер АС · все калькуляторы

Как определить порядок фильтра?

Каждый порядок даёт 20 дБ/декаду (6 дБ/октаву) спада. Нужный порядок n ≥ A/(20·log₁₀(f/fc)), округляют вверх. Например, для −40 дБ на декаду выше среза нужен 2-й порядок.

Что даёт увеличение порядка?

Более крутой срез и лучшее подавление за полосой, но сложнее схема, хуже фазовая и переходная характеристики (звон, задержка). Поэтому берут минимальный порядок, обеспечивающий требуемое затухание.