Калькулятор LC-контура

LC-контур (резонанс)

Как работает резонанс LC-контура

Колебательный контур — это катушка индуктивности L и конденсатор C, соединённые вместе. Энергия в нём периодически перетекает из магнитного поля катушки в электрическое поле конденсатора и обратно, и эти колебания идут на строго определённой резонансной частоте. Именно на ней контур «настроен»: он выделяет нужный сигнал из множества других. Поэтому LC-контуры лежат в основе радиоприёмников, гетеродинов, генераторов и полосовых фильтров, а также согласующих цепей антенн. Хорошая механическая аналогия — маятник или груз на пружине: там энергия перетекает между кинетической и потенциальной, здесь — между магнитной энергией катушки и электрической энергией конденсатора. Чем меньше потери, тем дольше контур «звенит» после однократного толчка на своей собственной частоте.

f = 1 / (2 · π · √(L · C))    ρ = √(L / C)

Это формула Томсона. Из неё видно главное: частота зависит только от произведения L·C, а не от каждого номинала по отдельности. Увеличив индуктивность вдвое и уменьшив ёмкость вдвое, вы получите ту же самую частоту. Квадратный корень означает, что для снижения частоты в 2 раза произведение L·C нужно увеличить в 4 раза. Виджет решает это уравнение в любую сторону: задайте любые два параметра из трёх (f, L, C) — третий и характеристическое сопротивление рассчитаются автоматически. Формула одинакова для параллельного и последовательного контуров; отличается лишь их поведение на резонансе — параллельный показывает максимальное сопротивление, последовательный минимальное.

Характеристическое сопротивление и добротность

На резонансе индуктивное сопротивление катушки и ёмкостное сопротивление конденсатора становятся равны (XL = XC) — их проще всего оценить в калькуляторе реактивности XL/XC. Это общее значение называют характеристическим (волновым) сопротивлением контура ρ = √(L/C). Величина ключевая: она показывает, на каком уровне сопротивления работает контур, и напрямую влияет на добротность Q = ρ / R, где R — суммарные потери. Чем выше ρ относительно потерь, тем уже полоса пропускания и острее резонанс. От добротности напрямую зависит ширина полосы: Δf ≈ f / Q. Контур с Q = 100 на частоте 10 МГц пропускает полосу около 100 кГц — этого достаточно, чтобы выделить одну радиостанцию, но мало для широкополосного сигнала. Повысить Q помогают толстый (а лучше посеребрённый) провод катушки, конденсатор с малыми потерями и отсутствие рядом металлических экранов, которые «съедают» поле. Оценить добротность отдельно поможет калькулятор добротности Q, а полную картину с учётом активного сопротивления даёт расчёт RLC-импеданса.

Единицы и точность расчёта

В радиотехнике номиналы удобно вводить в «своих» приставках: индуктивность — в нГн, мкГн, мГн; ёмкость — в пФ, нФ, мкФ; частоту — в кГц, МГц, ГГц. Виджет сам приводит всё к системе СИ (генри, фарады, герцы), считает и возвращает результат в наиболее читаемой приставке. Держите в уме удобное правило прикидки: f (МГц) ≈ 159,155 / √(L[мкГн] · C[пФ]). Отсюда же видна главная опасность: раз результат зависит от произведения L·C, ошибка в приставке (пФ вместо нФ) сразу уводит частоту в тысячу раз, поэтому единицы стоит перепроверять перед каждым расчётом. Реальный контур всегда немного уходит от расчёта: у катушки есть собственная межвитковая ёмкость, у монтажа — паразитные ёмкости и индуктивности выводов, а сердечник меняет L с температурой и подмагничиванием. Поэтому расчётное значение — это отправная точка, а окончательную настройку делают подстроечным конденсатором или сердечником катушки.

Как выбирать L и C на практике

Одну и ту же частоту можно получить бесконечным числом пар L и C, но не все они равноценны. Слишком малая ёмкость (единицы пикофарад) делает контур чувствительным к паразитным ёмкостям монтажа и рук, а слишком большая индуктивность выходит громоздкой и с большими потерями. Разумный ориентир: держать ρ в диапазоне от сотен ом до единиц килоом, а ёмкость — не меньше 20–50 пФ, чтобы неизбежные 5–10 пФ монтажа не сбивали настройку. Индуктивность катушки под нужный контур удобно рассчитать в калькуляторе индуктивности катушки, а если катушка наматывается на кольцо — в расчёте тороида. На высоких частотах, наоборот, индуктивность приходится делать совсем малой (доли микрогенри), и тогда заметный вклад вносят даже индуктивность печатных дорожек и выводов деталей. Если контур нужно перестраивать по частоте, переменным делают один элемент — обычно конденсатор переменной ёмкости или сердечник катушки; при этом диапазон перестройки по частоте равен корню из диапазона изменения ёмкости. Для кварцевых генераторов номиналы нагрузочных конденсаторов подбирают отдельно — см. конденсаторы кварца.

Типовые контуры по диапазонам

В таблице — характерные сочетания L и C и получаемая резонансная частота (расчёт по формуле Томсона), чтобы быстро прикинуть, в каком диапазоне вы работаете. Значения ρ округлены.

Где применяют — и где не годится

LC-контур — сердце входных цепей приёмников, гетеродинов, задающих генераторов и полосовых фильтров: пару связанных контуров используют в LC-фильтрах. В передающей технике на нём строят согласующие и антенные цепи — например, четвертьволновый трансформатор (расчёт QWT) или самодельную антенну J-pole. Не годится контур там, где нужна высокая стабильность частоты (единицы ppm): здесь выигрывает кварцевый резонатор. На низких, звуковых частотах LC-контур становится непрактично громоздким — вместо него берут активные RC-цепи, например RC-фильтр. А связь частоты с длиной волны в эфире удобно проверить в калькуляторе частота ↔ длина волны.

Пример

На значениях по умолчанию L = 100 мкГн, C = 100 пФ. Переводим в СИ: L = 10⁻⁴ Гн, C = 10⁻¹⁰ Ф. Произведение L·C = 10⁻¹⁴, корень √(L·C) = 10⁻⁷. Тогда f = 1 / (2π · 10⁻⁷) = 1 / (6,2832 · 10⁻⁷) ≈ 1,592 МГц. Характеристическое сопротивление ρ = √(L/C) = √(10⁻⁴ / 10⁻¹⁰) = √(10⁶) = 1000 Ом — виджет показывает это как 1 кОм. Проверим по правилу прикидки: f ≈ 159,155 / √(100 · 100) = 159,155 / 100 ≈ 1,59 МГц — сходится. Такая частота лежит на границе средних и коротких волн; чтобы сдвинуть её ниже, в диапазон средних волн, достаточно увеличить ёмкость примерно вчетверо (до 400 пФ), что даст вдвое меньшую частоту около 0,8 МГц.

См. также: реактивность XL/XC · RLC-импеданс · LC-фильтр · добротность Q · все калькуляторы

Как рассчитать резонансную частоту LC-контура?

Резонансная частота f = 1/(2π·√(L·C)). Введите индуктивность и ёмкость — калькулятор посчитает частоту резонанса, а также характеристическое (волновое) сопротивление контура ρ = √(L/C).

Как подобрать L и C под нужную частоту?

Задайте желаемую частоту и одну из величин (L или C) — вторая рассчитается из формулы резонанса. Обычно фиксируют доступный номинал конденсатора и вычисляют индуктивность катушки.