Калькулятор петлевого фильтра ФАПЧ (PLL)

PLL loop-filter

Как работает петлевой фильтр ФАПЧ

Система фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ, PLL) — сердце любого частотного синтезатора. Опорный генератор (чаще всего кварцевый резонатор) даёт стабильную частоту сравнения f_сравн, а перестраиваемый генератор, управляемый напряжением (ГУН, VCO), выдаёт выходную частоту f_вых = N · f_сравн, где N — коэффициент деления в обратной связи. Частотно-фазовый детектор с накачкой заряда (charge-pump) сравнивает фазы опоры и делённого сигнала ГУН и выдаёт короткие импульсы тока, знак и длительность которых пропорциональны фазовой ошибке. Петлевой фильтр превращает эти импульсы в плавное управляющее напряжение и задаёт всю динамику петли: скорость захвата, устойчивость, уровень шума и подавление паразитных «спуров».

ωc = 2π·fc;  T1 = (sec φ − tan φ)/ωc;  T2 = 1/(ωc²·T1)
C1 = (T1/T2)·(Icp·Kvco/(ωc²·N))·√((1+ωc²T2²)/(1+ωc²T1²))
C2 = C1·(T2/T1 − 1);  R2 = T2/C2

Калькулятор считает номиналы пассивного фильтра 2-го порядка по классическому методу Banerjee (Texas Instruments). Топология проста: конденсатор C1 стоит прямо на выходе накачки заряда на землю, а последовательная цепочка R2 + C2 подключена параллельно ему. C2 создаёт «ноль» передаточной функции на частоте 1/(2π·T2) — он и даёт нужный запас по фазе φ, а C1 добавляет полюс на 1/(2π·T1), который подавляет высокочастотные импульсы. Такая петля — система 2-го типа: она имеет нулевую статическую ошибку по частоте и удерживает выход точно на f_вых без ухода. Постоянные времени T1 и T2 — это, по сути, координаты полюса и нуля на оси частот; калькулятор выводит их отдельно, чтобы можно было прикинуть, где на диаграмме Боде лежат характерные точки петли.

Почему в формуле стоит именно произведение Icp·Kvco, а не каждый параметр по отдельности? Крутизна детектора Kφ = Icp/2π (ампер на радиан), а крутизна ГУН Kvco в радианной форме равна 2π·Kv (радиан в секунду на вольт). При перемножении множители 2π сокращаются, и остаётся Icp·Kv — полное усиление разомкнутой петли по постоянному току. Деление на N учитывает, что обратная связь ослабляет сигнал в N раз. Отсюда важный вывод: удвоив ток накачки, можно вдвое уменьшить ёмкости при той же полосе — это экономит место на плате, но повышает потребление и джиттер.

Что задают пять параметров

В расчёт входит пять величин. Kvco — крутизна ГУН (МГц/В): насколько сдвигается частота при изменении управляющего напряжения на вольт. Icp — ток накачки заряда (мА), задаётся в микросхеме синтезатора. N — коэффициент деления обратной связи; именно он умножает опору до нужной выходной частоты. fc — полоса петли (loop bandwidth), частота единичного усиления разомкнутой петли. φ — запас по фазе (phase margin), угол устойчивости на этой частоте. Произведение Icp·Kvco определяет усиление петли, а деление на N его ослабляет: чем больше N, тем «мягче» петля и тем крупнее получаются конденсаторы. Формула-бокс выше показывает, что все три номинала жёстко связаны — вручную их подбирать долго, и калькулятор снимает эту рутину.

Полоса петли и запас по фазе

Два параметра решают почти всё. Полоса fc — компромисс: широкая петля быстро захватывает частоту и лучше давит собственный шум ГУН, но пропускает больше шума опоры и хуже фильтрует опорные спуры. Практическое правило — брать fc в 10–20 раз ниже частоты сравнения, иначе дискретная природа накачки заряда нарушает непрерывную модель фильтра (аналогично тому, как критерий Найквиста ограничивает частоту дискретизации). Запас по фазе φ обычно выбирают 45–55°: меньше 40° петля звенит и даёт выброс при захвате, больше 60° — реакция становится вялой. Оптимум около 47–50° даёт максимально быстрое установление без перерегулирования. Сам петлевой фильтр по сути тот же RC-фильтр нижних частот, только рассчитанный из требований к устойчивости, а не из желаемой частоты среза; полезно помнить и про реактивное сопротивление конденсаторов на частоте петли.

Отдельно стоит следить за R2. Этот резистор напрямую влияет на тепловой шум, который через ГУН превращается в фазовый шум выхода: слишком большое сопротивление ухудшает спектральную чистоту. На практике его держат в пределах десятков — сотен ом, а если расчёт выдаёт единицы килоом, это сигнал, что полосу взяли слишком узкой или ток накачки слишком малым. Номиналы конденсаторов округляют до ближайших значений ряда E12/E24, а получившуюся петлю обязательно моделируют или проверяют по времени захвата: аналитический расчёт даёт отличную стартовую точку, но паразитные ёмкости монтажа, входное сопротивление ГУН и утечки конденсаторов слегка сдвигают реальную полосу.

Как параметры влияют на результат

Таблица помогает понять, в какую сторону крутить входные значения, если результат вас не устраивает.

Где применяют — и где не годится

Пассивный фильтр 2-го порядка ставят в целочисленных и дробных синтезаторах ADF4351, LMX2594, Si5351 и подобных — везде, где ГУН гонится за кварцевой опорой: гетеродины приёмников, тактовые генераторы, восстановление несущей. Он хорош, когда усиление петли умеренное и хватает одного дополнительного полюса. Если же спуры высоки или требуется крутое подавление опорной частоты, переходят к пассивному фильтру 3-го порядка (добавляют R3-C3) или активному с ОУ, когда напряжения настройки ГУН не хватает и его нужно поднять сверх питания накачки заряда. Для дробных синтезаторов (fractional-N) полосу обычно сужают дополнительно, чтобы отфильтровать шум сигма-дельта модулятора, поэтому запас по фазе там берут ближе к верхней границе диапазона. Заметьте: этот калькулятор считает именно ФАПЧ; для прямого цифрового синтеза без петли смотрите DDS-спектр, а для генерации частот делением таймера микроконтроллера — прескейлер МК. Полосу и добротность самого фильтра удобно перепроверять через добротность Q и LC-резонанс.

Пример

На значениях по умолчанию: Kvco = 20 МГц/В, Icp = 5 мА, N = 100, fc = 10 кГц, φ = 47,5°. Сначала ωc = 2π·10 000 = 62 832 рад/с. Отсюда T1 = (sec 47,5° − tan 47,5°)/ωc ≈ 6,189 мкс и T2 = 1/(ωc²·T1) ≈ 40,927 мкс. Усиление петли Icp·Kvco = 5 мА · 20 МГц/В = 1·10⁵. Подставляя в формулу, получаем C1 ≈ 98,504 нФ, C2 ≈ 552,863 нФ и R2 ≈ 74,03 Ом. Проверяем главное условие: полоса 10 кГц должна быть в 10–20 раз ниже частоты сравнения, то есть f_сравн ≈ 100–200 кГц и выше — тогда расчёт корректен.

См. также: DDS-спектр · конденсаторы кварца · RC-фильтр · реактивность · таймер МК · все калькуляторы

Как рассчитать петлевой фильтр ФАПЧ (PLL)?

Для пассивного фильтра 2-го порядка по заданным полосе петли, запасу по фазе, току зарядового насоса, крутизне ГУН и коэффициенту деления рассчитываются постоянные времени и номиналы R и C. Калькулятор использует стандартные уравнения (Banerjee/TI).

На что влияет полоса петли PLL?

Широкая полоса даёт быстрый захват и подавление шума ГУН, но хуже фильтрует шум опорного генератора и зарядового насоса. Узкая полоса — наоборот. Полосу обычно выбирают в районе 1/10 частоты сравнения как компромисс.