Калькулятор звезда ↔ треугольник (Y-Δ)

Звезда ↔ треугольник

Что это и зачем

Преобразование звезда ↔ треугольник (Y-Δ, теорема Кеннелли) заменяет три резистора, соединённых звездой — с общим узлом в центре и тремя лучами Ra, Rb, Rc, — эквивалентным треугольником из трёх сторон Rab, Rbc, Rca, и наоборот. Слово «эквивалентный» здесь строгое: со стороны трёх внешних выводов A, B и C обе схемы неотличимы — одинаковы сопротивления между любой парой выводов, одинаковы токи и напряжения во всей внешней части цепи. Разница прячется лишь внутри: при переходе к треугольнику центральный узел звезды исчезает, а при обратном переходе появляется вновь.

Y→Δ: Rab = (Ra·Rb + Rb·Rc + Rc·Ra) / Rc   (и по кругу)
Δ→Y: Ra = (Rca·Rab) / (Rab + Rbc + Rca)   (и по кругу)

Приём необходим там, где цепь не раскладывается на простые последовательные и параллельные участки и потому не по зубам калькулятору соединения резисторов. Классический тупик — мостовая схема: пока мост не уравновешен, ни одну пару плеч нельзя назвать ни последовательной, ни параллельной, и обычные приёмы свёртки буксуют. Стоит превратить один треугольник в звезду (или наоборот) — и схема тут же распадается на привычные группы, к которым применим обычный закон Ома.

Как читаются формулы

Обе формулы легко удержать в памяти по расположению элементов. При переходе звезда → треугольник числитель у всех трёх сторон одинаковый — это сумма попарных произведений лучей P = Ra·Rb + Rb·Rc + Rc·Ra. Делится же она каждый раз на тот луч, который лежит напротив искомой стороны: Rab получают делением на Rc, Rbc — на Ra, Rca — на Rb. Отсюда короткая мнемоника: «делим на противоположный».

Обратный переход треугольник → звезда устроен зеркально. Общим становится знаменатель — сумма всех трёх сторон S = Rab + Rbc + Rca, а в числителе стоит произведение двух сторон, прилегающих к искомому лучу: Ra = (Rca·Rab)/S, то есть перемножаются стороны, сходящиеся в вершине A. Правило звучит так: «произведение прилегающих делим на периметр».

Для симметричного случая, когда все три элемента равны, обе формулы сворачиваются в короткое соотношение: треугольник выходит ровно втрое больше звезды, RΔ = 3·RY, а обратно RY = RΔ/3. Это удобная прикидка на глаз — если пересчёт симметричной звезды дал не тройную величину, значит где-то вкралась ошибка.

Почему обе схемы эквивалентны

Формулы выводятся из простого требования: сопротивление, измеренное между любой парой выводов, должно быть одинаковым у звезды и у треугольника. У звезды между выводами A и B последовательно включены лучи Ra и Rb (третий луч Rc в этом измерении остаётся «висящим» и не участвует). У треугольника между теми же выводами сторона Rab включена параллельно последовательной цепочке Rbc + Rca. Приравняв три таких выражения — для пар A-B, B-C и C-A — и решив систему из трёх уравнений, получают ровно те формулы, что заложены в калькулятор.

Именно поэтому равенство строго справедливо только на выводах A, B и C: внутренняя структура схем разная, и центральный узел звезды не имеет в треугольнике физического аналога. Внешней цепи это безразлично — она «видит» одну и ту же матрицу сопротивлений между тремя точками, а что там внутри, звезда или треугольник, для расчёта не важно.

Справочные данные

Таблица симметричного пересчёта (все три резистора равны) наглядно показывает соотношение RΔ = 3·RY. По ней удобно прикидывать порядок величины ещё до ввода реальных, несимметричных номиналов. Для несимметричных цепей такого простого множителя уже нет — там работают только полные формулы Кеннелли, и надёжнее довериться расчёту в самом калькуляторе выше.

Где это применяют

Самое частое применение — несбалансированные мосты. В мосте Уитстона один из треугольников заменяют звездой, после чего сопротивление между источником и указателем считается напрямую. Тот же ход разворачивает лестничные и сетчатые схемы: после одного-двух преобразований остаются лишь последовательно-параллельные группы, которые сводит калькулятор соединения резисторов, а распределение токов и напряжений по ветвям находят делитель тока и делитель напряжения.

Преобразование выручает и при поиске эквивалентного сопротивления для метода Тевенена и Нортона: свернув неудобный треугольник в звезду, куда проще найти Rэкв относительно нужной пары зажимов. Когда расчётные значения пора заменить реальными номиналами, пригодятся ряды E12/E24/E96 и подбор пары резисторов, а свериться с готовым компонентом поможет таблица цветовой маркировки. Наконец, тот же аппарат работает и для переменного тока: лучи и стороны заменяют на комплексные реактивные сопротивления, а формулы Кеннелли остаются буквально теми же.

Частые ошибки

Первая и главная — перепутать, на что делить. В направлении звезда → треугольник в знаменателе стоит противоположный луч, а не прилегающий; в обратном направлении знаменателем служит сумма всех трёх сторон. Вторая ошибка — смешать единицы: если один резистор задан в килоомах, а другой в омах, результат уедет на порядки; в калькуляторе у каждого поля свой множитель (Ом / кОм / МОм), так что единицы не нужно приводить руками. Третья — ждать, что после преобразования сохранятся внутренние токи: эквивалентность гарантирована только на внешних выводах, центральный узел звезды физически исчезает, и напряжения на отдельных лучах уже не совпадают с исходными. И последнее — про рассеиваемую мощность: у эквивалентного треугольника номиналы и токи другие, поэтому мощность резисторов надо пересчитывать заново, а не переносить со звезды.

Пример

Возьмём значения по умолчанию: звезда Ra = 10 Ом, Rb = 20 Ом, Rc = 30 Ом, направление звезда → треугольник. Сумма попарных произведений P = 10·20 + 20·30 + 30·10 = 200 + 600 + 300 = 1100. Дальше делим на противоположный луч: Rab = 1100/30 ≈ 36,7 Ом, Rbc = 1100/10 = 110 Ом, Rca = 1100/20 = 55 Ом. Проверим обратным ходом: периметр треугольника S = 36,7 + 110 + 55 ≈ 201,7 Ом, тогда Ra = (Rca·Rab)/S = (55·36,7)/201,7 ≈ 10 Ом — исходный луч восстановился, а значит пересчёт верен.

См. также: соединение резисторов · мост Уитстона · Тевенен / Нортон · все калькуляторы

Как перевести звезду в треугольник?

Сопротивления треугольника выражаются через звезду по формулам Кеннелли: Rab = (Ra·Rb + Rb·Rc + Rc·Ra)/Rc и аналогично для остальных сторон. Обратно (треугольник в звезду): Ra = (Rab·Rca)/(Rab+Rbc+Rca). Калькулятор считает в обе стороны.

Зачем нужно преобразование звезда-треугольник?

Оно упрощает расчёт цепей, которые нельзя свести к последовательно-параллельному соединению — например мостовых схем и трёхфазных нагрузок. Заменив звезду эквивалентным треугольником (или наоборот), цепь становится расчётной обычными методами.

Что такое симметричная звезда и треугольник?

Если все три сопротивления одинаковы, преобразование упрощается: RΔ = 3·RY и RY = RΔ/3. То есть треугольник из равных резисторов эквивалентен звезде втрое меньших номиналов.