Калькулятор полосового RC-фильтра

Полосовой RC

Как работает полосовой RC-фильтр

Полосовой (band-pass) фильтр пропускает частоты внутри заданной полосы и подавляет всё, что лежит ниже и выше неё. Самый простой способ собрать его из пассивных деталей — поставить последовательно два уже знакомых звена: RC-фильтр высоких частот и RC-фильтр низких частот. Первое звено (R1, C1) отрезает низ и задаёт нижнюю границу полосы fl, второе (R2, C2) отрезает верх и задаёт верхнюю границу fh. То, что осталось между ними, и есть полоса пропускания. Такой фильтр не даёт усиления — в полосе он в лучшем случае близок к единице, а на самом деле немного проседает из-за взаимного нагружения звеньев, — зато не требует питания, операционных усилителей и настройки.

Нижний срез fl = 1 / (2π·R1·C1)    Верхний fh = 1 / (2π·R2·C2)
Центральная fc = √(fl·fh)    Полоса BW = fh − fl    Добротность Q = fc / BW

Каждая граница считается по классической формуле частоты среза RC-цепи: на этой частоте реактивное сопротивление конденсатора равно сопротивлению резистора, сигнал падает на 3 дБ (примерно до 0,707 от полосы пропускания), а фаза сдвигается на 45°. За тем же порогом стоит и постоянная времени цепи τ = R·C: срез f = 1/(2π·τ). Полезно держать в голове, что решает произведение R·C — увеличив резистор вдвое или ёмкость вдвое, вы одинаково сдвинете границу вниз в два раза.

Нижний и верхний срез: два звена

Порядок звеньев в формулах не важен — калькулятор всё равно назначит меньшую частоту нижним срезом, а большую верхним (в коде при fh < fl значения меняются местами). Важно другое: чтобы фильтр действительно был полосовым, а не просто ослабляющим, звенья должны быть разнесены по частоте. ФВЧ ставит стенку слева, ФНЧ — справа, а плоская вершина между ними тем ровнее, чем дальше друг от друга fl и fh. Скорость спада за границами полосы — всего 6 дБ на октаву с каждой стороны, как у одиночной RC-цепи: пассивный полосовой RC — фильтр первого порядка по каждому скату. Если нужен более крутой спад, наращивают порядок фильтра или переходят на активные схемы.

Полоса, центральная частота и добротность

Центральную частоту fc считают как среднее геометрическое границ √(fl·fh) — на логарифмической оси частот она лежит ровно посередине полосы, а не как арифметическое среднее. Ширина полосы BW — это просто разность fh − fl. Отношение fc/BW даёт добротность Q: чем уже полоса относительно её центра, тем выше Q. У пассивного RC-фильтра Q принципиально низкая. При широко разнесённых срезах (декада и больше) Q заметно меньше единицы — это широкополосный тракт, а не резонатор. Добиться от такой схемы высокой избирательности нельзя: как только границы сближают ради узкой полосы, вершина скругляется, потери в полосе растут, и заявленная BW перестаёт соответствовать реальной АЧХ.

Физика границ проще, чем кажется. На частоте среза ёмкостное сопротивление конденсатора Xc = 1/(2π·f·C) сравнивается с сопротивлением резистора — именно поэтому расчёт границы удобно проверять через реактивное сопротивление: подставив fl или fh, вы должны получить Xc, равное R соответствующего звена. Ниже нижнего среза «командует» ёмкость ФВЧ, выше верхнего — ёмкость ФНЧ, а между ними обе цепи почти не влияют, и сигнал проходит. Спад в 6 дБ на октаву означает, что на октаву ниже fl или на октаву выше fh амплитуда падает вдвое; чтобы получить −20 дБ, придётся уйти на декаду от границы. Это и есть плата за простоту одиночного RC-звена.

Как выбирать номиналы и типовые ошибки

Главная ловушка — взаимное нагружение. Выход ФВЧ видит вход ФНЧ как нагрузку, и если их импедансы близки, расчётные границы уплывают, а сигнал в полосе проседает сильнее ожидаемого. Практическое правило: делайте второе звено «легче» первого — входное сопротивление ФНЧ (по сути R2) должно быть заметно больше выходного импеданса ФВЧ, либо ставьте между звеньями буфер (эмиттерный/истоковый повторитель или ОУ). Резисторы держите в разумном коридоре 1–100 кОм: слишком большие ловят наводки и шумят, слишком малые нагружают источник. Ёмкости выбирайте под нужную частоту, а не наоборот. Реальные номиналы берите из рядов E12/E24 — точное расчётное значение вам всё равно недоступно, а поймать нужную границу проще подбором пары. Помните и про фазу: фазовый сдвиг RC-цепи на границах составляет ±45°, и в полосе сигнал приходит не синфазно — для звуковых применений это обычно неважно, для измерительных схем может быть критично.

Типовые полосы и номиналы

Ориентир для быстрой прикидки при C1 = C2 = 100 нФ (частоты округлены):

Где применяют — и где не годится

Пассивный полосовой RC хорош там, где нужна дешёвая и грубая частотная селекция без резонанса: выделить речевой диапазон в интеркоме и радиосвязи, вырезать полосу перед детектором, ограничить спектр сигнала перед оцифровкой, задать грубую АЧХ в аудиоканале или предусилителе датчика. Он же удобен как учебная модель фильтра первого порядка. А вот где он не годится: для узкополосной селекции и добротных резонаторов — там нужен LC-контур или активная схема; для крутых скатов и ровной вершины — активный фильтр Саллена–Ки; для вырезания одной узкой частоты (сетевой фон 50 Гц) — режекторный двойной Т-мост. Если Q должна быть заметно выше единицы, пассивный RC физически не вытянет.

Пример

На значениях по умолчанию: ФВЧ R1 = 16 кОм, C1 = 100 нФ и ФНЧ R2 = 1,6 кОм, C2 = 100 нФ. Нижний срез fl = 1 / (2π · 16000 · 100·10⁻⁹) = 1 / (2π · 0,0016) ≈ 99,5 Гц. Верхний срез fh = 1 / (2π · 1600 · 100·10⁻⁹) ≈ 994,7 Гц (сопротивление вдесятеро меньше — граница вдесятеро выше). Центральная частота fc = √(99,5 · 994,7) ≈ 314,6 Гц, ширина полосы BW = 994,7 − 99,5 ≈ 895,2 Гц, добротность Q = 314,6 / 895,2 ≈ 0,35. Полоса пропускания ≈ 99…995 Гц — как раз речевой диапазон, а низкая Q подтверждает: это широкополосный тракт, а не резонатор.

См. также: RC-фильтр НЧ/ВЧ · постоянная времени RC · фазовый сдвиг RC · активный фильтр · режекторный (twin-T) · добротность Q · все калькуляторы

Как сделать полосовой фильтр на RC?

Соединяют последовательно ФВЧ (задаёт нижний срез fl = 1/(2πR1C1)) и ФНЧ (верхний срез fh = 1/(2πR2C2)). Между fl и fh сигнал проходит, вне — ослабляется. Центральная частота fc = √(fl·fh), добротность Q = fc/(fh−fl).

Почему звенья влияют друг на друга?

При прямом соединении ФНЧ нагружает ФВЧ, смещая срезы. Если полоса узкая (fl близко к fh) или сопротивления соизмеримы, звенья лучше развязать буфером (повторителем на ОУ).