Диаграмма Смита — калькулятор импеданса

Диаграмма Смита

Что показывает диаграмма Смита

Диаграмма Смита — это графическая плоскость комплексного коэффициента отражения Γ, поверх которой нанесена сетка нормированного импеданса. Она превращает громоздкую комплексную арифметику в геометрию: любое сопротивление нагрузки становится одной точкой, а согласование — движением этой точки к центру. Придумал её в 1939 году инженер Bell Labs Филлип Смит, и с тех пор это рабочий инструмент любого, кто имеет дело с линиями передачи — от настройки антенн до проектирования СВЧ-цепей. Калькулятор берёт комплексное сопротивление нагрузки ZL = R + jX и волновое сопротивление линии Z₀, нормирует импеданс, отмечает точку на диаграмме и строит вокруг центра окружность постоянного КСВ.

z = ZL / Z₀ = r + j·x    Γ = (z − 1) / (z + 1)
КСВ = (1 + |Γ|) / (1 − |Γ|)    RL = −20·log₁₀|Γ|

Первый шаг — нормировка: сопротивление и реактивность делятся на Z₀, поэтому по одной и той же диаграмме работают и 50-омные, и 75-омные тракты. Дальше нормированный импеданс z подставляется в дробно-линейное преобразование Γ = (z − 1)/(z + 1) — это отображение переводит всю правую полуплоскость импеданса (r ≥ 0) внутрь единичного круга |Γ| ≤ 1. Центр круга отвечает идеальному согласованию: z = 1, Γ = 0, КСВ = 1. Край (|Γ| = 1) — полное отражение: короткое замыкание, холостой ход или чистая реактивность.

Коэффициент отражения, КСВ и return loss

Три величины в правой колонке — это одно и то же рассогласование, выраженное по-разному. Модуль |Γ| — доля амплитуды волны, отражённой обратно к источнику; его удобно читать прямо с диаграммы как расстояние от центра до точки в долях радиуса. Коэффициент стоячей волны КСВ = (1 + |Γ|)/(1 − |Γ|) описывает, во сколько раз пучность стоячей волны в линии больше узла: при идеальном согласовании КСВ = 1, при полном отражении уходит в бесконечность. Return loss RL = −20·log₁₀|Γ| — та же информация в децибелах: чем больше число, тем меньше отражённая мощность. Угол Γ говорит, индуктивный или ёмкостный характер у рассогласования и на сколько градусов «повёрнута» нагрузка. Подробный разбор пары КСВ ↔ return loss вынесен в отдельный калькулятор КСВ.

Как читать сетку

Сетка составлена из двух семейств кривых. Окружности постоянного сопротивления r начинаются от левой точки (короткое замыкание, r = 0) и стягиваются к правому краю (r → ∞); горизонтальная ось — это линия чисто активных нагрузок, x = 0. Дуги постоянной реактивности x идут от того же правого края: верхняя половина диаграммы — индуктивные нагрузки (x > 0), нижняя — ёмкостные (x < 0). Точка пересечения нужной окружности r и нужной дуги x и есть ваш нормированный импеданс. Окружность КСВ (её рисует калькулятор пунктиром) концентрична центру, потому что вдоль идеальной линии передачи |Γ| не меняется — перемещение по линии лишь вращает точку по этой окружности. Именно поэтому диаграмма так удобна для расчёта четвертьволновых трансформаторов и L-согласующих цепей: добавление последовательной или параллельной реактивности двигает точку по предсказуемым дугам к центру.

Отражение, КСВ и потери — справочная таблица

Ориентиры для быстрой оценки: как соотносятся модуль коэффициента отражения, КСВ, return loss и доля отражённой по мощности энергии. Значения округлены.

Согласование шаг за шагом

На практике диаграмму используют не для того, чтобы просто узнать КСВ, а чтобы понять, чем этот КСВ снизить. Логика всегда одна: точку нагрузки нужно любыми обратимыми элементами (без активных потерь) привести в центр. Последовательный элемент двигает точку вдоль окружностей постоянного сопротивления r, параллельный — вдоль окружностей постоянной проводимости (их удобно видеть на «перевёрнутой» диаграмме проводимостей). Последовательная индуктивность тянет точку вверх по дуге реактивности, последовательная ёмкость — вниз; параллельные элементы работают зеркально. Отсюда рождается Г-образная (L) согласующая цепь: один реактивный элемент выводит точку на окружность единичного сопротивления или проводимости, второй добивает её до центра. Если нагрузка чисто активная, но не равна Z₀, задачу решает четвертьволновый трансформатор с волновым сопротивлением √(Z₀·ZL) — на диаграмме он поворачивает точку на 180°.

Полезно помнить, что движение вдоль линии передачи (например, при подключении шлейфа-стаба на некотором удалении) вращает точку по окружности КСВ, не меняя её радиуса: один оборот по диаграмме соответствует смещению на половину длины волны. Поэтому стаб-согласование — это подбор длины отрезка линии, который довернёт точку в нужное место, плюс реактивность самого шлейфа. Такой подход одинаково работает и в антенных трактах, и на печатных платах, где роль линий играют дорожки с контролируемым импедансом.

Где применяют — и где не годится

Классические задачи — согласование антенн (диаграмма сразу показывает, добавить последовательную индуктивность или параллельную ёмкость, чтобы дотянуть точку до центра), проектирование СВЧ-усилителей и фильтров, расчёт трансформации импеданса в коаксиальных кабелях и на микрополосковых линиях. Диаграмма естественно ложится на реальные конструкции: четвертьволновый трансформатор и согласующий трансформатор на ней выглядят как повороты и сдвиги точки по знакомым дугам. Ограничения тоже стоит помнить: диаграмма описывает поведение на одной частоте, поэтому для широкополосного согласования её строят на нескольких точках диапазона; она предполагает линию без потерь (у реальной линии точка спирально стягивается к центру с расстоянием); и, как любой импедансный расчёт, она верна лишь настолько, насколько точно измерена сама нагрузка.

Пример

Возьмём значения по умолчанию: нагрузка ZL = 75 + j40 Ом на линии Z₀ = 50 Ом. Нормируем: r = 75/50 = 1,5, x = 40/50 = 0,8, то есть z = 1,5 + j0,8. Знаменатель преобразования (r + 1)² + x² = 2,5² + 0,8² = 6,89. Тогда действительная часть Γ = (r² − 1 + x²)/6,89 = 1,89/6,89 = 0,274, мнимая = 2·0,8/6,89 = 0,232. Модуль |Γ| = √(0,274² + 0,232²) = 0,359, угол = 40,2°. Отсюда КСВ = (1 + 0,359)/(1 − 0,359) = 2,122, а return loss = −20·log₁₀(0,359) = 8,89 дБ. Точка лежит в верхней (индуктивной) половине, правее центра — характерное рассогласование, которое легко устраняется небольшой последовательной ёмкостью.

См. также: КСВ / return loss · L-согласование · четвертьволновый трансформатор · реактивность XL/XC · коаксиальный кабель · все калькуляторы

Для чего нужна диаграмма Смита?

Диаграмма Смита — это графический инструмент для работы с комплексными импедансами и коэффициентом отражения в РЧ-технике. По ней согласуют антенны и цепи, видят КСВ и подбирают элементы согласования. Калькулятор наносит нормированный импеданс и окружность КСВ.

Как связаны импеданс и коэффициент отражения?

Нормируют импеданс z = ZL/Z0, тогда коэффициент отражения Γ = (z − 1)/(z + 1). Из модуля |Γ| получают КСВ = (1 + |Γ|)/(1 − |Γ|) и возвратные потери. Центр диаграммы Смита (Γ = 0) соответствует идеальному согласованию.