Ошибка квантования: неизбежная плата за дискретизацию
Даже безупречный по всем остальным параметрам преобразователь не способен представить входной сигнал абсолютно точно: он вынужден округлять непрерывное значение до ближайшего кода. Если посмотреть на передаточную характеристику идеального N-разрядного АЦП, видно, что максимальная ошибка такого округления составляет ±½ LSB — половину веса младшего значащего разряда.
Обозначим вес младшего разряда через q. Для любого переменного сигнала, размах которого перекрывает хотя бы несколько младших разрядов, ошибку квантования удобно приближать некоррелированным пилообразным колебанием с размахом q от пика до пика. Есть и другой, эквивалентный взгляд на это приближение: фактическая ошибка с равной вероятностью может оказаться в любой точке диапазона ±½ q. Именно равномерность этого распределения и делает дальнейший расчёт таким простым.
Пилообразная модель и среднеквадратичная ошибка
Если построить ошибку квантования как функцию времени, картина оказывается регулярной: значение линейно нарастает, пока сигнал идёт внутри одной ступени, и скачком сбрасывается при переходе к следующей. Для аналитических целей простой пилы вполне достаточно — модель даёт приемлемую точность и позволяет взять интеграл в уме.
Запишем ошибку на одном периоде пилы длительностью T:
e(t) = -q * t / T, -T/2 <= t <= T/2
Среднеквадратичное (mean-square) значение ошибки — это усреднение квадрата по периоду:
e^2(t) = (1/T) * ∫ e^2(t) dt в пределах от -T/2 до T/2
= (1/T) * ∫ (q*t/T)^2 dt
Интегрирование элементарное, и после упрощения остаётся компактный результат:
e^2(t) = q^2 / 12
Отсюда действующее (rms) значение шума квантования:
e(rms) = q / sqrt12
Обратите внимание: в выражение не входят ни частота дискретизации, ни форма входного сигнала — только вес младшего разряда. Это ключевой момент всего вывода.
Куда девается шум квантования по спектру
Пилообразная ошибка — сигнал заведомо негармонический, и её гармоники уходят далеко за пределы полосы Найквиста, то есть за диапазон от постоянного тока до Fs/2, где Fs — частота дискретизации преобразователя. Однако наружу эта энергия не пропадает: все внеполосные гармоники зеркалятся (алиасинг) обратно внутрь полосы Найквиста и складываются там. Суммарная мощность при этом сохраняется, и в полосе мы получаем ровно тот же rms-шум, равный q/sqrt12.
По своей статистике шум квантования приблизительно гауссов и распределён равномерно по всей интересующей нас полосе — от постоянного тока до Fs/2. В основе такой картины лежит важное допущение: шум квантования не коррелирован с входным сигналом. Пока это условие выполняется, ошибку округления можно трактовать как обычный аддитивный шумовой пьедестал и считать отношение сигнал/шум по классическим правилам.
Вывод формулы отношения сигнал/шум
Теоретическое отношение сигнал/шум вычисляется для наилучшего случая — синусоиды, занимающей всю шкалу преобразователя. У N-разрядного АЦП полная шкала соответствует 2^N ступеням весом q каждая, то есть размаху 2^N · q от пика до пика. Действующее значение такой синусоиды:
V(rms) = (2^N * q) / (2 * sqrt2)
Остаётся взять отношение этой величины к найденному ранее rms-шуму квантования и перевести его в децибелы:
SNR = 20 * log10( V(rms) / e(rms) )
= 20 * log10( (2^N * q / (2sqrt2)) / (q / sqrt12) )
Вес младшего разряда q сокращается — и это принципиально: результат не зависит ни от опорного напряжения, ни от абсолютного размаха шкалы. Разделив выражение на слагаемое с разрядностью и числовую константу, получаем окончательную формулу отношения сигнал/шум идеального N-разрядного преобразователя:
SNR = 6,02 * N + 1,76 dB
Читается она предельно наглядно: каждый добавленный разряд даёт примерно 6 дБ выигрыша по отношению сигнал/шум, а константа 1,76 дБ — вклад той самой геометрии, с которой сравнивается пилообразная ошибка: пик-фактора полномасштабной синусоиды и равномерного распределения ошибки в пределах ±½ q.
Как этим пользоваться на практике
Полученное выражение задаёт теоретический потолок — величину, которую реальная микросхема может только не достичь. Всё, что ухудшает картину в настоящем преобразователе (тепловой шум, джиттер тактового сигнала, нелинейность, наводки по питанию), вычитается из этого предела. Отсюда и практический смысл формулы:
- она даёт точку отсчёта при выборе разрядности АЦП под требуемое динамическое диапазонное разрешение;
- сравнение измеренного SNR с расчётным показывает, сколько разрядов реально «съедено» несовершенствами тракта;
- независимость результата от q означает, что уменьшение опорного напряжения само по себе отношение сигнал/шум не улучшает — играет роль только разрядность;
- допущение о некоррелированности шума и сигнала стоит держать в голове: на низкоуровневых или сильно периодических сигналах ошибка квантования перестаёт быть «шумом» и проявляется как дискретные спектральные составляющие.
