Линейный и нелинейный резистивный элемент
У линейного резистора R ток i и приложенное напряжение u связаны прямой пропорциональностью. Именно эта зависимость и называется вольт-амперной характеристикой (ВАХ) резистивного элемента, а поскольку сопротивление R постоянно, график ВАХ — прямая линия.
У нелинейного элемента (НЭ) связь тока и напряжения нелинейна, и сопротивление уже не является константой: оно зависит от того, в какой точке ВАХ его определяют. Если взять постоянное напряжение, приложенное к элементу, и протекающий через него постоянный ток, их отношение даёт сопротивление постоянному току (статическое сопротивление). Оно своё для каждого значения приложенного напряжения — это ключевое отличие от линейного случая.
Теперь подадим на нелинейный элемент сумму постоянного напряжения и гармонического, причём амплитуду переменной составляющей возьмём достаточно малой — такой, чтобы рабочий участок ВАХ в её пределах можно было считать прямым. Спроецировав каждое мгновенное значение гармонического напряжения на ВАХ и перенеся результат на плоскость «ток — время», получим форму тока. Поскольку участок выбран линейным, ток в точности повторит форму напряжения.
Отношение амплитуды переменного напряжения к амплитуде переменного тока (на графике — отношение приращения напряжения к приращению тока) называют дифференциальным, или динамическим, сопротивлением. По сути это сопротивление нелинейного элемента переменному току малой амплитуды. Обычно от приращений переходят к пределу и определяют дифференциальное сопротивление как производную du/di. Часто удобнее обратная величина — дифференциальная крутизна (проводимость) S = di/du.
Самые распространённые приборы с нелинейным резистивным сопротивлением — ламповые и полупроводниковые: диоды, транзисторы и т. п. В радиотехнике их применяют для преобразования и усиления сигналов. Типовые ВАХ снимают:
- для полупроводникового и туннельного диодов — зависимость тока от приложенного напряжения;
- для биполярного транзистора — зависимость токов базы и коллектора от напряжения на участке «база — эмиттер»;
- для полевого транзистора — зависимость тока стока от напряжения на участке «затвор — исток».
Приборы, у которых на ВАХ есть падающий участок (характерный пример — туннельный диод), называют приборами с отрицательным сопротивлением: на этом участке рост напряжения сопровождается уменьшением тока, и производная меняет знак.
Графоаналитический расчёт цепи с одним нелинейным элементом
Если ВАХ задана графиком или описывается слишком сложной функцией, цепь считают графоаналитически. Смысл метода в том, чтобы составить систему аналитических уравнений, а затем решить её построением: точка пересечения графиков и есть искомое решение.
Для цепи с одним НЭ естественно применить метод эквивалентного генератора: вся линейная часть относительно зажимов нелинейного элемента заменяется эквивалентным генератором напряжения или тока. Параметры эквивалентного генератора определяют так:
- напряжение холостого хода — это напряжение на зажимах активного линейного двухполюсника при отключённом НЭ;
- эквивалентное сопротивление — сопротивление пассивного двухполюсника, когда все задающие напряжения и токи источников приравнены нулю;
- ток короткого замыкания — ток активного двухполюсника при закороченных зажимах.
После такой замены ток в НЭ и напряжение на нём находятся из системы всего из двух уравнений. Первое даёт закон напряжений Кирхгофа для контура с эквивалентным генератором — это уравнение прямой, её называют нагрузочной. Второе — собственное уравнение нелинейного элемента, то есть его ВАХ. Строим обе линии в одних осях, и точка их пересечения сразу даёт ток через НЭ и напряжение на нём. Все остальные токи и напряжения на линейных элементах затем находятся по законам Кирхгофа.
Пример. Требуется рассчитать ток через нелинейный элемент. ВАХ задана графически, сопротивление в цепи 2 кОм, источник напряжения 1 В, токи источников тока по 0,5 мА. Сначала считают напряжение холостого хода между узлами 1 и 2 (при отключённом НЭ), эквивалентное сопротивление пассивного двухполюсника и ток короткого замыкания (при закороченном НЭ). Затем строят нагрузочную прямую и находят её пересечение с ВАХ: через нелинейный элемент течёт ток 0,7 мА, а напряжение на нём составляет 0,5 В.
Несколько нелинейных элементов: эквивалентные преобразования
Когда нелинейных элементов в цепи несколько, схему упрощают эквивалентными преобразованиями — участки с параллельным или последовательным соединением ветвей заменяют одной эквивалентной ветвью. Складывают при этом не сопротивления, а сами характеристики: ординаты или абсциссы заданных кривых. Метод особенно хорош для цепи с одним источником — в пределе вся схема сводится к источнику и единственному эквивалентному нелинейному элементу.
Пусть два НЭ включены параллельно. Напряжение на них общее, а по первому закону Кирхгофа токи складываются. Сложение выполняют графически: задаются значением напряжения, по обеим ВАХ находят токи и суммируют их; затем берут новое значение напряжения и повторяют. Полученная серия точек, соединённая линией, и есть ВАХ эквивалентного элемента — то есть суммируются ординаты.
При последовательном соединении общим оказывается ток, а напряжения складываются, поэтому суммируют абсциссы характеристик. Оба преобразования работают и тогда, когда соединены несколько нелинейных элементов вперемешку с линейными. Поскольку эти рассуждения верны не только для постоянного, но и для переменного тока, напряжения и токи здесь обозначают строчными буквами.
Пример. В цепи задано напряжение источника 5 В, линейное сопротивление 500 Ом, ВАХ обоих нелинейных элементов — графиками. Сначала находят ВАХ двухполюсника, эквивалентного параллельному соединению сопротивления R и НЭ 2: переносят ВАХ НЭ 2 на отдельный рисунок, строят рядом прямую ВАХ линейного элемента и складывают ординаты. Затем полученную эквивалентную характеристику складывают по абсциссам с ВАХ НЭ 1 — это уже характеристика двухполюсника, подключённого к зажимам источника.
По итоговой кривой напряжению 5 В соответствует ток 16 мА. По характеристике НЭ 1 этому току отвечает напряжение 2,8 В, а на параллельном соединении R и НЭ 2 остаётся 2,2 В. Зная это напряжение, по первому рисунку находят распределение токов в параллельных ветвях: 11 мА и 5 мА.
Так же поступают с цепью из трёх резистивных НЭ: суммирование ординат характеристик параллельных элементов 2 и 3 даёт эквивалентную характеристику 2-3, а сложение её абсцисс с абсциссами кривой 1 — характеристику всей нелинейной цепи. Задаваясь входным напряжением, по этим графикам получают токи и напряжения всех ветвей.
Аналитический расчёт: уравнения состояния и нагрузочные прямые
Если ВАХ заданы не графиками, а достаточно простыми аналитическими выражениями, для цепи составляют систему уравнений состояния и решают её аналитически или численно. Уравнения пишут по законам Кирхгофа ровно так же, как для линейной резистивной цепи, только дополнительно добавляют уравнения ВАХ нелинейных элементов. Число неизвестных при этом совпадает с числом уравнений, а вот решение системы, содержащей нелинейное уравнение, может оказаться куда сложнее: для большинства относительно сложных цепей аналитического решения попросту не существует, и приходится идти к численным методам.
Пример. Цепь с одним независимым контуром и одним независимым узлом, ВАХ нелинейного элемента описана аналитически и справедлива только при положительном напряжении на нём. Заданы сопротивление 1 кОм, напряжение 14 В и токи источников по 10 мА. Уравнение ЗТК позволяет выразить один из токов и подставить его в уравнение ЗНК, а подстановка уравнения ВАХ сводит всё к одному уравнению относительно напряжения на нелинейном двухполюснике. Его решение даёт 20 В. Второй корень отбрасывают: он отрицателен, а использованное уравнение ВАХ действует только в области положительных напряжений. Проверка альтернативной ветви (когда напряжение на НЭ отрицательно и ток по уравнению ВАХ равен нулю) приводит к противоречию с самим этим условием. Значит, годится только первое решение, а остальные токи находят обратной подстановкой.
Уравнения состояния можно составлять и методом узловых напряжений. Для схемы с двумя нелинейными элементами и зависимым источником (источником тока, управляемым током) один из узлов принимают за базисный, токи ветвей выражают через узловые напряжения и записывают ЗТК для независимых узлов. Получается система нелинейных уравнений с узловыми напряжениями в качестве неизвестных; её порядок обычно удаётся понизить, выразив одно напряжение через другие и исключив его из оставшихся уравнений. Решают такую систему численно — например, методом Ньютона — Рафсона, — после чего по найденным узловым напряжениям вычисляют токи и напряжения всех ветвей.
Отдельный случай — нелинейный четырёхполюсник, который описывается уравнениями, связывающими напряжения и токи на входе и на выходе. Его характеристики задают двумя семействами кривых: входными и выходными ВАХ. Записав ЗНК для входной и выходной цепей и разрешив полученные уравнения относительно входного и выходного токов, получают уравнения нагрузочных прямых. Их графики строят поверх семейств ВАХ, и точки пересечения определяют режимы постоянного тока — рабочие точки на входе и выходе четырёхполюсника.
Аппроксимация вольт-амперных характеристик
ВАХ реальных приборов почти всегда получают экспериментально, поэтому они существуют в виде таблиц и графиков. Чтобы работать с формулами, характеристику аппроксимируют — подбирают описывающее её аналитическое выражение.
Пусть к нелинейному элементу приложены постоянное и гармоническое напряжения. Увеличение постоянной составляющей сдвигает область работы по ВАХ вправо, уменьшение — влево. Поэтому постоянное напряжение называют напряжением смещения, а соответствующую ему точку на характеристике — рабочей точкой: выбор рабочей точки и есть выбор смещения. При подаче гармонического сигнала рабочая точка перемещается по ВАХ в такт с мгновенным значением напряжения. Отсюда важный практический вывод: аппроксимировать нужно не всю характеристику, а только тот её участок, по которому реально ходит рабочая точка.
Чаще всего в качестве аппроксимирующего выражения берут степенной полином. Коэффициенты находят разными способами, самый распространённый — интерполяция, она же метод выбранных точек: значения полинома приравнивают к значениям реальной ВАХ в нескольких точках — узлах интерполяции — и решают полученную систему.
Пример с биполярным транзистором. Зависимость тока базы от напряжения «база — эмиттер» задана таблицей из шести экспериментальных точек. Можно потребовать совпадения во всех шести — тогда нужен полином 5-й степени (у него как раз шесть коэффициентов) и система из шести уравнений. Решить систему 6x6 сегодня несложно, программы для этого есть даже на микрокалькуляторах, но в такой точности нет смысла. Известно, что смещение равно 0,6 В, а амплитуда гармонического напряжения на входе не превышает 0,2 В, — значит, сигнал не выходит за пределы 0,4…0,8 В и вне этого интервала аппроксимация не нужна. Взяв всего три узла (0,4; 0,6 и 0,8 В), понижаем степень полинома до второй, а систему — до трёх уравнений с тремя неизвестными. Её решение даёт коэффициенты 0,1 мА, 0,625 мА/В и 1,875 мА/В^2. Полученная кривая проходит через все три экспериментальные точки, а сравнение расчётных и табличных значений тока базы показывает, что остальные точки ложатся на неё достаточно плотно.
Большой сигнал и кусочно-линейная аппроксимация. О большой амплитуде говорят тогда, когда сигнал выводит прибор за пределы рабочего участка. Для транзистора КТ-306, снятого при смещении 0,6 В, изменение мгновенного значения гармонического напряжения от -0,3 до -0,6 В делает напряжение «база — эмиттер» отрицательным, ток базы пропадает, транзистор закрыт. В таком режиме ВАХ приближённо считают состоящей из двух участков: на первом ток равен нулю и прибор закрыт, на втором ток растёт с напряжением и прибор открыт. «Кривизной» характеристики на втором участке пренебрегают и заменяют её прямой. Проекция гармонического напряжения на такую ломаную даёт форму тока, почти не отличающуюся от реального тока через элемент с экспериментальной ВАХ, — замена вполне приемлема.
Наклон аппроксимирующей прямой задаётся крутизной S, а её сдвиг по оси напряжений — напряжением отсечки: функция записывается параметрически для двух участков — ниже отсечки ток нулевой, выше он пропорционален превышению напряжения над отсечкой. Для данных КТ-306 крутизна, найденная как отношение приращения тока к приращению напряжения, составляет 4 мА/В, а напряжение отсечки — 0,5 В.
Тот же приём для полевого транзистора: по графику зависимости тока стока от напряжения «затвор — исток» находим напряжение отсечки -2 В, ниже него ток стока равен нулю. Крутизну считают по границе рабочего диапазона: при напряжении затвор — исток, равном нулю, ток стока составляет 4 мА, что даёт S = 2 мА/В. Этими двумя числами аппроксимирующая функция полностью определена.
Нелинейные искажения и спектр тока
Рассмотрим усилительный каскад на биполярном транзисторе, на вход которого подано напряжение смещения плюс гармонический сигнал. Зависимость коллекторного тока от напряжения «база — эмиттер» — это проходная ВАХ каскада. Если смещение и амплитуда выбраны так, что рабочая точка не выходит за линейный участок, коллекторный ток содержит только постоянную составляющую и гармоническую составляющую входной частоты. Стоит уменьшить смещение и посадить рабочую точку на нижний, нелинейный участок — форма тока искажается и перестаёт быть гармонической; дальнейшее уменьшение смещения искажает её ещё сильнее.
Любой периодический сигнал раскладывается в ряд Фурье, поэтому искажённый коллекторный ток — это сумма постоянной составляющей, основной составляющей с частотой входного сигнала и высших гармоник. Искажения формы, вызванные нелинейностью ВАХ, называют нелинейными искажениями. Если задача — усилить сигнал без искажений (речь, музыка, изображение), режим выбирают так, чтобы не выходить за линейный участок. Если же, наоборот, сигнал нужно преобразовать — скажем, не дать его мгновенному значению превысить заданный порог, — приходится сознательно работать в режиме больших нелинейных искажений.
Классический пример такого преобразования — диодный ограничитель напряжения. При прямом напряжении p-n переход диода открыт и ток течёт, при обратном переход закрыт и ток практически отсутствует. Диод здесь работает вентилем: в открытом состоянии его сопротивление мало (десятки Ом), в закрытом очень велико (сотни МОм). Именно это позволяет аппроксимировать его ВАХ кусочно-линейной функцией, а порог ограничения задают напряжением смещения.
Что даёт полиномиальная аппроксимация для спектра, удобно проследить на полиномах не выше третьей степени.
- Первая степень. График — горизонтальная прямая плюс наклонная прямая, смещённая по оси абсцисс; меняя коэффициенты, её опускают, двигают вправо-влево и меняют наклон. Подстановка суммы постоянного и гармонического напряжений и сравнение результата с рядом Фурье показывает: ток содержит только постоянную составляющую и первую гармонику, совпадающую по частоте с приложенным напряжением. Высших гармоник нет, нелинейных искажений нет.
- Вторая степень. Добавляется смещённая по оси абсцисс квадратичная парабола — ею описывают слабую нелинейность параболического типа. В спектре тока появляется вторая гармоника с удвоенной частотой.
- Третья степень. Добавляется смещённая кубическая парабола, и в спектре возникает третья гармоника; одновременно меняются постоянная составляющая и амплитуды первой и второй гармоник.
Отсюда общие правила: нелинейности высокого порядка порождают высшие гармоники, а количество гармоник в спектре тока равно степени полинома, которым описана ВАХ. Постоянная составляющая и амплитуды чётных гармоник определяются коэффициентами при чётных степенях, амплитуды нечётных гармоник — коэффициентами при нечётных. Поэтому ВАХ, аппроксимированная полиномом только с чётными степенями, даёт в спектре постоянную составляющую и чётные гармоники, а полином только с нечётными степенями — исключительно нечётные гармоники.
Практический расчёт спектра сводится к подстановке уже найденных коэффициентов в соответствующие формулы. Для разобранного выше транзистора, чья ВАХ в диапазоне 0,4…0,8 В описана полиномом второй степени, по тем же трём коэффициентам вычисляются постоянная составляющая и амплитуды первой и второй гармоник тока базы, по которым и строят спектральную диаграмму.
